Question

如圖，△OAB是斜邊長為4的等腰直角三角形，記△OAB位于直線x=t（0≤t≤4）左側(cè)的圖形的面積為f（t）．
（1）求函數(shù)f（t）的解析式及f（1）的值；
（2）若f(t)=

7

2

時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）求f（t）的解析式時(shí)，關(guān)鍵是要根據(jù)圖象，對t的取值進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆侄�，然后分段求出函�?shù)的解析式．
（2）結(jié)合分段函數(shù)的解析式，再利用分類討論即可求出t的值．

解答：解：（1）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
如圖，設(shè)直線x=t與△OAB的OA，OB分別交于C、D兩點(diǎn)，
因?yàn)椤鱋AB是斜邊長為4的等腰直角三角形，并且|OC|=t，
所以|CD|=t．
f（t）=

1

2

|OC|•|CD|=

1

2

•t•t=

1

2

t²．
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，設(shè)直線x=t與△OAB的AB，OA分別交于M、N兩點(diǎn)，則|AN|=4-t，
因?yàn)椤鱋AB是斜邊長為4的等腰直角三角形，
所以△OAB的面積為：S△OAB=

1

2

×4×2=4．
又因?yàn)閨AN|=4-t，
所以|MN|=4-t．
所以f（t）=4-

1

2

•|AN|•|MN|=4-

1

2

（4-t）²=-

1

2

t²+4t-4．
所以f（t）=

1 2 t2，0＜t≤2 - 1 2 t2+4t-4，2＜t≤4

．
∴f（1）=

1

2

；
（2）若f(t)=

7

2

，由（1）可得：
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，

1

2

t2=

7

2

，∴t∈∅；
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，-

1

2

t²+4t-4=

7

2

，∴t=3．
綜上，t=3．

點(diǎn)評：解決分段函數(shù)的問題時(shí)，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個(gè)區(qū)間段，從而選相應(yīng)的關(guān)系式，對于分段函數(shù)，注意處理好各段的端點(diǎn)，分段函數(shù)的圖象也是分段進(jìn)行．