Question

（1）已知：a，b，x均是正數(shù)，且a＞b，求證：1＜

a+x

b+x

＜

a

b

；
（2）當(dāng)a，b，x均是正數(shù)，且a＞b，求證

b

a

＜

b+x

a+x

＜1；
（3）證明：△ABC中，

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2．

Answer 1

考點：不等式的證明,三角函數(shù)恒等式的證明

專題：不等式

分析：（1）證

a+x

b+x

＞1，a＞b，a+x＞b+x，不等式兩邊同除以b+x即可，證

a+x

b+x

＜

a

b

，作差即可；
（2）證明過程同（1）；
（3）根據(jù)正弦定理得到，左邊=

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

，由（2）便可得到：

a

b+c

＜

2a

b+c+a

，

b

c+a

＜

2b

c+a+b

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，所以

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2，所以原不等式成立．

解答： 證：（1）∵a，b，x均是正數(shù)，且a＞b；
∴a+x＞b+x，∴

a+x

b+x

＞1；
∵

a+x

b+x

-

a

b

=

b(a+x)-a(b+x)

(b+x)b

=

x(b-a)

(b+x)b

；
b-a＜0，∴

a+x

b+x

＜

a

b

；
∴1＜

a+x

b+x

＜

a

b

；
（2）當(dāng)a，b，x均是正數(shù)，且a＞b時，a+x＞b+x，∴

b+x

a+x

＜1；

b

a

-

b+x

a+x

=

b(a+x)-a(b+x)

a(a+x)

=

x(b-a)

a(a+x)

；
b-a＜0，∴

b

a

＜

b+x

a+x

；
∴

b

a

＜

b+x

a+x

＜1；
（3）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2r；
sinA=

a

2r

，sinB=

b

2r

，sinC=

c

2r

；
∴

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

=

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

；
∵b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c；
∴由（2）得

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

c+a+b

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

；
∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2；
∴

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2．

點評：考查作差法證明不等式，正弦定理，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，以及兩邊之和大于第三邊．