Question

如圖所示，流程圖給出了無窮整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足的條件，a₁∈N₊，且當(dāng)k=5時，輸出的S=-

5

9

；當(dāng)k=10時，輸出的S=-

10

99

．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）是否存在最小的正數(shù)M使得T_n≤M對一切正整數(shù)n都成立，若存在，求出M的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 a5a6 =- 5 9 1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 a10a11 =- 10 99

，從而可得

a1a6=-9 a1a11=-99

兩式相減得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18又∵a₁d=a₆所以可求數(shù)列通項；
（2）由題意可得Tn=14+

2n-7

2n-1

，進(jìn)一步有當(dāng)n≥5時，T_n+1-T_n＜0；當(dāng)n≤4時，T_n+1-T_n＞0，從而當(dāng)n=5時，T_n有最大值，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為利用最值解決恒成立問題．

解答：解：（1）由題設(shè)知

1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 a5a6 =- 5 9 1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 a10a11 =- 10 99

又∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∴

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )=- 5 9 1 d ( 1 a1 - 1 a11 )=- 10 99 .

即

a1a6=-9 a1a11=-99.

兩式相減得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18
又∵a₁d=a₁（a₁+5d）=a₁²-90，∴a₁²=81，
∴a₁=9，a₁=-9舍，∴d=-2，∴a_n=11-2n
（2）Tn=

9

20

+

7

21

+

5

22

+…+

11-2n

2n-1

．①
①式兩邊同乘

1

2

得

1

2

Tn=

9

21

+

7

22

+…+

13-2n

2n-1

+

11-2n

2n

．②
②-①得(1-

1

2

)Tn=

9

20

+

-2

21

+

-2

22

…+

-2

2n-1

-

11-2n

2n

．
∴

1

2

Tn=9-2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

11-2n

2n

=9-2(1-

1

2n-1

)-

11-2n

2n

∴Tn=14+

2n-7

2n-1

又∵Tn+1-Tn=

2n-5

2n

-

2n-7

2n-1

=

9-2n

2n

．
當(dāng)n≥5時，∵T_n+1-T_n＜0；當(dāng)n≤4時，
∵T_n+1-T_n＞0∴當(dāng)n=5時，T_n有最大值

227

16

．
∵T_n≤M恒成立，∴M≥

227

16

，
∴M的最小值為

227

16

．

點評：本題考查數(shù)列、算法與函數(shù)的綜合問題，本題解題的關(guān)鍵利用錯位相減法求數(shù)列的和，再用函數(shù)的思想來解題，本題是一個綜合題目，難度可以作為高考卷的壓軸題．