Question

如圖，設由拋物線C：x²=4y與過它的焦點F的直線l所圍成封閉曲面圖形的面積為S（陰影部分）．
（1）設直線l與拋物線C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，直線l的斜率為k，試用k表示x₂-x₁；
（2）求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線C的方程可得焦點的坐標，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而可設直線l的方程，與拋物線聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進而根據x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

求得x₂-x₁．
（2）根據S=

∫

x1 x2

(kx+1-

1

4

x2)dx化簡整理得8k2

k2+1

+4

k2+1

-

4

3

k2+1

(4k2+1)，令

k2+1

=t，進而根據t的范圍求得S的范圍，得到最小值．

解答：解：（1）可得點F（0，1），
設直線l的方程為y=kx+1直線l與拋物線C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，又x₁＜x₂，
∴x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2+1

．
（2）所求的面積：S=

∫

x2 x1

(kx+1-

1

4

x2)dx
=(k•

x2

2

+x-

1

12

x3)

.

x2 x1

=(

k

2

x22+x2-

1

12

x23)-(

k

2

x12+x1-

1

12

x13)
=

k

2

(x2+x1)(x2-x1)+(x2-x1)-

1

12

(x2-x1)[(x1+x2)2-x1x2]
=8k2

k2+1

+4

k2+1

-

4

3

k2+1

(4k2+1)
令

k2+1

=t，則t≥1，有k²=t²-1，
S=8(t2-1)t+4t-

4

3

t[4(t2-1)+1]=

8

3

t3S=

8

3

t3
在[1，+∞）上為單調遞增函數，∴當t=1，即k=0時，S有最小值

8

3

．

點評：本題主要考查了拋物線的應用及拋物線與直線的關系．常需要把直線方程和拋物線方程聯立，根據韋達定理解決問題．