Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程6x-y+7=0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=

3

2

x²-9x+a+2與y=f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖象過點(diǎn)P（0，2）求出d的值，再代入求出導(dǎo)數(shù)，再由切線方程求出f（-1）、f′（-1），分別代入求出b和c的值；
（2）將條件轉(zhuǎn)化為x3-

9

2

x2+6x=a有三個(gè)根，再轉(zhuǎn)化為h(x)=x3-

9

2

x2+6x的圖象與y=a圖象有三個(gè)交點(diǎn)，再求出h（x）的導(dǎo)數(shù)、臨界點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間和極值，再求出a的范圍即可．

解答：解：（1）由f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（0，2），得d=2．
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
由在M（-1，f（-1））處的切線方程是6x-y+7=0，
∴-6-f（-1）+7=0，得f（-1）=1，且f′（-1）=6．
∴

3-2b+c=6 -1+b-c+2=1

，即

2b-c=-3 b-c=0

，解得b=c=-3．
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．
（2）∵函數(shù)g（x）與f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
∴方程x³-3x²-3x+2=

3

2

x²-9x+a+2有三個(gè)根，
即x3-

9

2

x2+6x=a有三個(gè)根，
令h(x)=x3-

9

2

x2+6x，則h（x）的圖象與y=a圖象有三個(gè)交點(diǎn)．
接下來求h（x）的極大值與極小值，
∴h′（x）=3x²-9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，
當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）的增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞）；減區(qū)間是（1，2），
∴h（x）的極大值為h（1）=

5

2

，h（x）的極小值為h（2）=2
因此2＜a＜

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點(diǎn)坐標(biāo)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性和極值等，涉及了函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程之間的轉(zhuǎn)化問題，待定系數(shù)法求解析式．