Question

定義在（-1，l）上的函數f （x）滿足：當x，y∈（-1，l）時，f（x）-f （y）=f(

x-y

1-xy

)，并且當x∈（-1，0）時，f （x）＞0；若P=f（

1

3

）+f（

1

4

），Q=f（

1

2

），R=f（0），則P，Q，R的大小關系為（　　）

A．R＞Q＞P

B．R＞P＞Q

C．P＞Q＞R

D．Q＞P＞R

Answer 1

分析：在已知函數中令y=x=0可得f（0）=0，令x=0可得f（-y）=-f（y）可得函數f（x）是奇函數，由x∈（-1，0）時，f （x）＞0可知f（x）是單調減函數，結合函數的這些性質及已知函數的關系可比較P，Q，R的大小

解答：解：∵x，y∈（-1，l）時，f（x）-f （y）=f(

x-y

1-xy

)，
令y=x=0可得f（0）-f（0）=f（0）
∴f（0）=0
令x=0可得f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）
∴f（-x）=-f（x）
∴函數f（x）是奇函數
設-1＜x₁＜x₂＜0
則-1＜x₁-x₂＜0，0＜1-x₁x₂＜1
∴-1＜(

x1-x2

1-x1x2

)＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-1，0）上是單調減函數
根據奇函數的對稱區(qū)間上的單調性相反可知，函數f（x）在（-1，1）上單調 遞減
而P=f(

1

3

)+f(

1

4

)=f(

1

3

)-f(-

1

4

)=f(

1 3 + 1 4

1+ 1 12

)=f(

7

13

)
由于

7

13

＞

1

2

＞0，
由單調性可得R＞Q＞P
故選A

點評：本題綜合考查了函數的抽象函數的單調性、奇偶性及利用賦值法比較函數值的大小，屬于函數知識的綜合應用