如圖,已知PA⊥平面ABC,且數(shù)學(xué)公式,等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,AB⊥BC,AD⊥PB于D,AE⊥PC于E.
(1)求證:PC⊥平面ADE;
(2)求直線AB與平面ADE所成角的大小.

解:(1)證明:因為PA⊥平面ABC,
所以PA⊥BC,又AB⊥BC,且PA∩AB=A,
所以BC⊥平面PAB,從而BC⊥AD.…(3分)
又AD⊥PB,BC∩PB=B,所以AD⊥平面PBC,得PC⊥AD,
又PC⊥AE,所以PC⊥平面ADE.…(6分)
(2)在平面PBC上,過點B作BF平行于PC交ED延長線于點F,連接AF,
因為PC⊥平面ADE,
所以BF⊥平面ADE,∠BAF為直線AB和平面ADE所成的角.…(9分)
在三角形PBC中,PD=,則BD=,得BF=
在Rt△BFA中,,
所以直線AB與平面ADE所成的角為30°.…(12分)
另解:過點B作BZ∥AP,則BZ⊥平面ABC,如圖所示,分別以BA,BC,BZ所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.則A(1,0,0),C(0,1,0),P(1,0,),因為PC⊥平面ADE,設(shè)向量所成的角為θ,
,
則直線AB與平面ADE所成的角為30°.…(12分)
分析:(1)欲證PC⊥平面ADE,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面ADE內(nèi)兩相交直線垂直,而PC⊥AD,PC⊥AE,AE∩AD=A,滿足定理條件;
(2)在平面PBC上,過點B作BF平行于PC交ED延長線于點F,連接AF,根據(jù)線面所成角的定義知∠BAF為直線AB和平面ADE所成的角,在RT△BFA中求出此角即可.也可以建立空間直角坐標系,利用向量來求.
點評:本題主要考查了直線與平面垂直的判定,以及直線與平面所成的角,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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3
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(2012•寶雞模擬)如圖,已知PA⊥平面ABC,且PA=
2
,等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,AB⊥BC,AD⊥PB于D,AE⊥PC于E.
(1)求證:PC⊥平面ADE;
(2)求點D到平面ABC的距離.

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(2012•寶雞模擬)如圖,已知PA⊥平面ABC,且PA=
2
,等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,AB⊥BC,AD⊥PB于D,AE⊥PC于E.
(1)求證:PC⊥平面ADE;
(2)求直線AB與平面ADE所成角的大�。�

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(2012•徐匯區(qū)一模)如圖,已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分別是BC,AP的中點.
(1)求異面直線AC與ED所成的角的大��;
(2)求△PDE繞直線PA旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

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(2012•徐匯區(qū)一模)如圖,已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D是AB的中點.
(1)求PD與平面PAC所成的角的大�。�
(2)求△PDB繞直線PA旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

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