已知O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（0，π）
（1）若|
OA
+
OC
|=
13
，求α的值；
（2）
AC
•
BC
=-1，求sinα-cosα的值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）求出
OA
，
OC
；計(jì)算
OA
+
OC
，由|
OA
+
OB
|=
13
；求出α的值；
（2）求出
AC
，
BC
，由
AC
•
B
C，求出cosα+sinα的值，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出sinα-cosα的值．
解答： 解：（1）∵
OA
=（3，0），
OC
=（cosα，sinα）；
∴
OA
+
OC
=（3+cosα，sinα），
∴|
OA
+
OB
|=
(3+cosα)2+sin2α
=
10+6cosα
=
13
；
∴cosα=
1
2
，
又∵α∈（0，π），∴α=
π
3
；
（2）∵
AC
=（cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3），
∴
AC
•
B
C=（cosα-3）•cosα+sinα•（sinα-3）=1-3（cosα+sinα）=-1；
∴cosα+sinα=
2
3
，
∴1+2sinαcosα=
4
9
，
∴2sinαcosα=-
5
9
；
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα=
(sinα+cosα)2-4sinαcosα

=
(
2
3
)2-2×(-
5
9
)

=
14
3
．
點(diǎn)評：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題和三角函數(shù)的求值問題，解題時(shí)應(yīng)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示的四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)P在底面的射影O在DA的延長線上，且OC過邊AB的中點(diǎn)E．
（1）證明：BD⊥平面POB；
（2）若PO=
a
2
，求三棱錐O-PAC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某籃球賽甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后決賽，其中甲隊(duì)有6名打前鋒位，4名打后位，另有2名既能打前鋒位又能打后位的全能型隊(duì)員；乙隊(duì)有4名打前鋒位，3名打后位，另有5名既能打前鋒位又能打后位的全能型隊(duì)員．問：
（1）甲隊(duì)有多少種不同的出場陣容？
（2）乙隊(duì)又有多少種不同的出場陣容？（注：每種出場陣容中含3名前鋒位和2名后位）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn=an2+an．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{
1
an2
}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：當(dāng)n≥3時(shí)，Tn＞
3
2
+
1-2n
2n2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1≠0，2an=a1（1+Sn）（n∈N*），Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）設(shè)bn=nSn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}中，a1+a3=6，a4+a6=24．
（1）求通項(xiàng)an；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex（x2-2ax-2a）．
（Ⅰ）設(shè)a＞-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g(x)=ex(-
1
3
x3+x2-6a)，討論關(guān)于x的方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和為Sn，若對于任意的正整數(shù)n都有Sn=2an-3n．
（1）設(shè)bn=an+3，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式．
（2）求數(shù)列{an-n}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
a
x
（a＞0）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求h（x）=f（x）+g（x）的最小值；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）證明：
n
k=1
1
k
＞
nln(2e)
2
-
1
2
ln（n!）

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