Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁＝2，a_n＋1－a_n＝3· 4ⁿ   ( n∈N^* )．

（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；

（2）令b_n＝n+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n.

 

Answer 1

 [解析]　(1)由題意，得

a₂－a₁＝3×4，

a₃－a₂＝3×4²，

a₄－a₃＝3×4³，

……

a_n－a_n－1＝3·4^n－1(n≥2)，

以上n－1個式子相加，得

a_n－a₁＝3(4＋4²＋4³＋…＋4^n－1)

＝3×＝4ⁿ－4，

∴a_n＝a₁＋4ⁿ－4＝4ⁿ－2.

a₁＝2滿足上式，∴a_n＝4ⁿ－2.

(2)b_n＝n+a_n＝n+(4ⁿ－2)，

S_n＝1+(4-2)＋2+(4²-2)+3+(4³-2)…＋n+(4ⁿ－2)

   =(1＋2＋…＋n)+(4+4²+4³…＋4ⁿ ) - 2n，

＝   －2n