Question

若函數(shù)f（x）=x²+ax+

1

x

在(

1

2

，+∞)是增函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

A．[-1，0]

B．[-1，∞]

C．[0，3]

D．[3，+∞]

Answer 1

分析：由函數(shù)f(x)=x2+ax+

1

x

在（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)，可得f′(x)=2x+a-

1

x2

≥0在（

1

2

，+∞）上恒成立，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為a≥

1

x2

-2x在（

1

2

，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出

1

x2

-2x在（

1

2

，+∞）上的最值，可得a的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=x2+ax+

1

x

在（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)
故f′(x)=2x+a-

1

x2

≥0在（

1

2

，+∞）上恒成立
即a≥

1

x2

-2x在（

1

2

，+∞）上恒成立
令h（x）=

1

x2

-2x，
則h′（x）=-

2

x3

-2
當(dāng)x∈（

1

2

，+∞）時，h′（x）＜0，則h（x）為減函數(shù)
∴h（x）＜h（

1

2

）=3
∴a≥3
故選D

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．