Question

如圖正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)

AP

=a

AB

+β

AF

（α、β∈R），則α+β的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：通過建立坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)及直線方程，設(shè)動點P的坐標(biāo)寫出動點P的可行域；寫出向量的坐標(biāo)，據(jù)已知條件中的向量等式得到α，β與x，y的關(guān)系代入點P的可行域得α，β的可行域，利用線性規(guī)劃求出α+β的取值范圍

解答：解：建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則A（0，0），B（2，0），
C(3，

3

)，D(2，2

3

)，E(0，2

3

)，F(xiàn)(-1，

3

)
則EC的方程：x+

3

y-6=0；CD的方程：

3

x+y-4

3

=0；
因P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動點，則可行域為

x+ 3 y-6≥0 3 ≤y≤2 3 3 x+y-4 3 ≤0

又

AP

=α

AB

+β

AF

，
則

AP

=(x，y)，

AB

=(2，0)，

AF

=(-1，

3

)，
所以(x，y)=α(2，0)+β(-1，

3

)
得

x=2α-β y= 3 β

?

2α-β+ 3 • 3 -6≥0 3 ≤ 3 β≤2 3 3 (2α-β)+ 3 β-4 3 ≤0

?

α+β≥3 1≤β≤2 α≤2

?3≤α+β≤4．
故答案為[3，4]．

點評：本題考查通過建立直角坐標(biāo)系將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，通過線性規(guī)劃求出范圍．