Question

已知函數(shù)，，其中.

(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實數(shù)的值；

(2)若對任意的(為自然對數(shù)的底數(shù))都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

(1)；(2)．

【解析】

試題分析：（1）利用函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于0，且此點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號相反，求得實數(shù)的值；（2）問題等價于對任意的時，都有，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)的最小值及的最大值，根據(jù)它們之間的關(guān)系求出實數(shù)的取值范圍．

試題解析：(1)∵，其定義域為，∴．

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即.

∵，∴．

經(jīng)檢驗當(dāng)時，是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴．

(2)對任意的都有成立等價于對任意的，都有．

當(dāng)時，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴.

∵，且，．

①當(dāng)且時，，

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴．

由，得a≥，

又，∴不合題意．

②當(dāng)時，

若，則，

若，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴.

由，得．又，∴．

③當(dāng)且時，，

函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.

由，得．又，∴.

綜上所述，的取值范圍為．

考點(diǎn)：1、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；2、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．