Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，

，是線段上的點，是線段上的點，且

（Ⅰ）當時，證明平面；

   （Ⅱ）是否存在實數(shù)，使異面直線與所成的角為？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）存在實數(shù)使異面直線與所成的角為. 

【解析】（1）當時，分別是所在邊的中點，在矩形中，利用三角形相似證出，由已知得，根據(jù)線面垂直的判定定理可證出結論.（2）異面直線與所成的角為，即，在直角三角形中，.設，再求出，，.由余弦定理求得.代入求出的值.

（Ⅰ）當時，則為的中點.

又 ，

∴在與中，，

，，∴.

 又∵平面，平面，

∴.

∴平面          ………………………………………………………… （6分）

（Ⅱ）設, 則.連結，則面.

∴.

∵，∴，.

在中，，

設異面直線與所成的角為，則，

∴,  ∴.

∴.

解得.

∴存在實數(shù)，使異面直線與所成的角為. ……………………………… （12分）

方法二：（坐標法）

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

（Ⅰ）當時，則為的中點，設, 則，則

，，，,.

,，.

,.

 ∴平面.     ………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）設, 則，

∴，，,.

∵ ,

∴ , .

,.

依題意，有，

∵ ，∴  ∴.

∴存在實數(shù)使異面直線與所成的角為.   ……………………………… （12分）