Question

如圖，已知橢圓W：

x2

2m+10

+

y2

m2-2

=1的左焦點為F（m，0），過點M（-3，0）作一條斜率大于0的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B，延長BF交橢圓W于點C．
（1）求橢圓W的離心率；
（2）若∠MAC=60°，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對第（1）問，由左焦點F（m，0）知，焦點在x軸上，再根據(jù)a²=b²+c²，得m的等量關(guān)系，于是得m的值，從而解得a，c的值，再由e=

c

a

，可得離心率．
對第（2）問，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，A，B的坐標分別為（x₁，k（x₁+3）），（x₂，k（x₂+3）），先證A關(guān)于x軸對稱的點為C，即得△MAC為等腰三角形，由∠MAC=60°知，△MAC為正三角形，最后由k=tan∠AMO，得直線l的斜率．

解答： 解：（1）由左焦點F（m，0）知，焦點在x軸上，
且a²=2m+10＞0，b²=m²-2＞0，a²＞c²，a²＞b²，m＜0，
由a²=b²+c²，得2m+10=m²-2+m²，解得m=3（舍去），或m=-2，
從而a=

2m+10

=

6

，c=-m=2，
故橢圓W離心率e=

c

a

=

6

3

．

（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，A（x₁，k（x₁+3）），B（x₂，k（x₂+3）），
則點A關(guān)于x軸對稱的點為C′（x₁，k（x₁+3））．
下面證明B，F(xiàn)，C′三點共線：
只需證BF的斜率k_BF等于FC′的斜率k_FC′，
即證

k(x2+3)

x2+2

=

k(x1+3)

x1+2

，
化簡、整理，得2x₁x₂+5（x₁+x₂）+12=0．…①
由

y=k(x+3) x2 6 + y2 2 =1

，消去y，整理得（3k²+1）x²+18k²x+27k²-6=0，
由韋達定理，得

x1+x2=- 18k2 3k2+1 x1x2= 27k2-6 3k2+1

，…②
將②代入①式左邊，
得2•

27k2-6

3k2+1

-5•

18k2

3k2+1

+12=

-36k2-12+36k2+12

3k2+1

=0，即①式成立，
故B，F(xiàn)，C′三點共線，
∴C′與C重合，
∴AM=CM，
又∠MAC=60°，
∴△MAC為正三角形，
∴k=tan∠AMO=tan30°=

3

3

，
即直線l的斜率為

3

3

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，對直線與橢圓相交問題的處理方法等，常見思路是：
1、設(shè)直線方程及交點坐標；
2、聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，利用韋達定理進行整體代入，得到含參數(shù)的表達式或方程；
3、確定參數(shù)的值或范圍．