Question

【題目】某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)警報(bào)系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(tái)（x∈N*）的總收入為30x﹣0.2x2（單位：萬(wàn)元）．每月投入的固定成本（包括機(jī)械檢修、工人工資等）為40萬(wàn)元，此外，每生產(chǎn)一臺(tái)還需材料成本5萬(wàn)元．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常常利用每月利潤(rùn)函數(shù)P（x）的邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）來(lái)研究何時(shí)獲得最大利潤(rùn)，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）． （Ⅰ）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）及其邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；
（Ⅱ）利用邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）研究，該公司每月生產(chǎn)多少臺(tái)警報(bào)系統(tǒng)裝置，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）
=30x﹣0.2x2﹣（5x+40）
=﹣0.2x2+25x﹣40，
MP（x）=P（x+1）﹣P（x）
=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]
=24.8﹣0.4x，
（Ⅱ）∵M(jìn)P（x）=24.8﹣0.4x是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，MP（x）的最大值為24.40（萬(wàn)元）
【解析】（Ⅰ）利用利潤(rùn)是收入與成本之差，求利潤(rùn)函數(shù)P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是減函數(shù)，即可得出結(jié)論．