Question

已知函數(shù)F(x)=

3x+1

2x-1

，(x≠

1

2

)．
（Ⅰ）證明：F（x）+F（1-x）=3，并求F(

1

2009

)+F(

2

2009

)+…+F(

2008

2009

)；
（Ⅱ）．已知等差數(shù)列{a_n}與{b_n}的前n項和分別為S_n與T_n，且

Sn

Tn

=F(n)．當(dāng)m＞n時，比較

am

bm

與

an

bn

的大��；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，已知a₁=2，數(shù)列{b_n}的公差為d=2．探究在數(shù)列{a_n}與{b_n}中是否有相等的項，若有，求出這些相等項由小到大排列后得到的數(shù)列{c_n}的通項公式；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）關(guān)于f（x）+f（1-x）=3的證明，只需代入解析式驗證即可．求值時，我們利用f（x）+f（1-x）=3即和為1的兩個自變量對應(yīng)的函數(shù)值的和為3，再看共有多少對即可，
（Ⅱ）考查等差數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系．由等差數(shù)列第n項的比等于前2n-1項和的比可得，然后在比較大小．
（Ⅲ）假若存在數(shù)列{a_n}中的第n項與數(shù)列{b_n}中的第k項相等，即an=bk?3n-1=2k-

3

2

?n=

4k-1

6

，進一步分析可得n不是整數(shù)，即可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因為F(x)+F(1-x)=

3x+1

2x-1

+

3(1-x)+1

2(1-x)-1

=3（2分）
所以設(shè)S=F(

1

2009

)+F(

2

2009

)++F(

2008

2009

)；（1）
S=F(

2008

2009

)+F(

2007

2009

)++F(

1

2009

)（2）
（1）+（2）得：2S={F(

1

2009

)+F(

2008

2009

)}+{F(

2

2009

)+F(

2007

2009

)}++{F(

2008

2009

)+F(

1

2009

)}
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因為S2n-1=

(a1+a2n-1)(2n-1)

2

=

(an+an)(2n-1)

2

=(2n-1)an
所以an=

S2n-1

2n-1

；同理bn=

T2n-1

2n-1

．（7分）
所以

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

；

am

bm

=

S2n-1

T2n-1

所以當(dāng)m＞n≥1時，

am

bm

-

an

bn

=

S2m-1

T2m-1

-

S2n-1

T2n-1

=

3(2m-1)+1

2(2m-1)-1

-

3(2n-1)+1

2(2n-1)-1

=

6m-2

4m-3

-

6n-2

4n-3

=

(6m-2)(4n-3)-(6n-2)(4m-3)

(4m-3)(4n-3)

=

10(n-m)

(4m-3)(4n-3)

＜0，∴

am

bm

＜

an

bn

（10分）

（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，當(dāng)a₁=2，d=2時

Sn

Tn

=

2n+ n(n-1)d1 2

nb1+ n(n-1)•2 2

=

d1n-d1+4

2n-2+2b1

=

3n+1

2n-1

所以{-2+2b₁=-1
d1=3
d₁=3
所以an=2+(n-1)×3=3n-1；bn=

1

2

+(n-1)×2=2n-

3

2

（12分）
假若存在數(shù)列{a_n}中的第n項與數(shù)列{b_n}中的第k項相等，
即an=bk?3n-1=2k-

3

2

?n=

4k-1

6

因為4k-1為奇數(shù)，6為偶數(shù)，所以n=

4k-1

6

不是整數(shù)，
所以在數(shù)列{a_n}與{b_n}中沒有相等的項．（14分）

點評：第一問：主要查清幾對即可．
第二問：兩個等差數(shù)列前n項的比值與前2n-1項和的比值相等這一規(guī)律最好記住，在解決填空與選擇題時可以加快速度．
第三問：要注意通項相等和第n項相等的區(qū)別．