Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C₁：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F₁(－1,0)，且點(diǎn)P(0,1)在C₁上．

(1)求橢圓C₁的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)l同時(shí)與橢圓C₁和拋物線(xiàn)C₂：y²＝4x相切，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

　(1)因?yàn)闄E圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁(－1,0)，所以c＝1，將點(diǎn)P(0,1)代入橢圓方程＋＝1，得＝1，

即b²＝1，

所以a²＝b²＋c²＝2，

所以橢圓C₁的方程為＋y²＝1.

(2)直線(xiàn)l的斜率顯然存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m，

由消去y并整理得，

(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0，

因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓C₁相切，

所以Δ₁＝16k²m²－4(1＋2k²)(2m²－2)＝0，

整理得2k²－m²＋1＝0　①

由消去y并整理得，k²x²＋(2km－4)x＋m²＝0

因?yàn)橹本�(xiàn)l與拋物線(xiàn)C₂相切，

所以Δ₂＝(2km－4)²－4k²m²＝0，

整理得km＝1　　②

綜合①②，解得

所以直線(xiàn)l的方程為y＝x＋或y＝－x－.