Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n=

n

2

an(n∈N*)，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)的和，a₂=1．
（1）求S_n；（2）證明：

3

2

≤(1+

1

2an+1

)n＜2.

Answer 1

分析：（1）易得遞推關(guān)系，從而求通項(xiàng)與和
（2）通常與二項(xiàng)式定理有關(guān)，需用放縮法求和，而放縮法主要是放縮成特殊的等比類型．

解答：解：（1）由題意S_n=

n

2

an得Sn+1=

n+1

2

an+1，
兩式相減得2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n即（n-1）a_n+1=na_n，
所以（n+1）a_n+1=n_an+2再相加得2na_n+1=na_n+na_n+2即2a_n+1=a_n+a_n+2
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列（4分）
∵a₁=

1

2

a 1∴a₁=0，
又a₂=1，則公差為1，∴a_n=n-1，
所以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n=

n

2

an=

n(n-1)

2

，（6分）
（2）（1+

1

2an+1

)n=(1+

1

2n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2n

)++

C

r n

(

1

2n

)r+

C

n n

(

1

2n

)n（8分）
①當(dāng)n=1時(shí)：（1+

1

2an+1

)n=

3

2

=(1+

1

2a2

)1=

3

2

，

3

2

≤

3

2

＜2，不等式成立．（7分）
②當(dāng)n≥2時(shí)：一方面
∵(1+

1

2n

)n =

C

0 n

 +

C

1 n

1

2n

+

C

r n

(  

1

2n

)r+…＞1+n•

1

2n

=

3

2

（9分）
另一方面：

C

r n

(

1

2n

)r=

1

r!•2r

•

n(n-1)…(n-r+1)

nr

＜

1

r!•2r

 ＜

1

2r

∴（1+

1

2n

)n＜1+

1

2

+

1

4

+＜1+

1

2

+

1

22

+… +

1

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

  =2[1-(

1

2

)n] ＜2，
綜合兩方面∴

3

2

＜(1+

1

2an+1

)n＜2.
于是對于正整數(shù)n，都有

3

2

≤(1+

1

2an+1

)n＜2.（12分）

點(diǎn)評：通過本題，學(xué)生要掌握常用的放縮技巧和結(jié)論．放縮的目的是便于求和，放縮后的數(shù)列一般是等差或等比，另外就是放縮的“度”