Question

拋物線y²=2px（p＞0）的準線交x軸于點C，焦點為F．A、B是拋物線上的兩點．己知A．B，C三點共線，且|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，直線AB的斜率為k，則有

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據拋物線方程求出點C（-，0），可得直線AB方程為y=k（x-），將其與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂和x₁x₂關于p、k的式子，結合兩點間的距離公式算出|AB|=•．再利用拋物線的定義，得到|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列得出|AF|+|BF|=2|AB|，從而建立關于p、k的等式，化簡整理得•=，即可解出，得到本題答案．
解答：∵拋物線y²=2px的準線方程為x=-，
∴準線與x軸的交點C坐標為（-，0）
因此，得到直線AB方程為y=k（x-），與拋物線y²=2px消去y，
化簡整理，得，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關系得
∴|AB|==•
=•=•
∵|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，
∴|AF|+|BF|=2|AB|，
根據拋物線的定義得|AF|=x₁+，|BF|=x₂+，
因此，得到x₁+x₂+p=2•，即+p=2•，
化簡得=，約去得•=
∴（1+k²）（1-k²）=，解之得k²=
故選：D
點評：本題給出拋物線準線交對稱軸于點C，過點C的直線交拋物線于A、B兩點，A、B與焦點F構成的三角形的三邊成等差數(shù)列，求直線AB的斜率．著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質，直線與拋物線位置關系等知識點，屬于中檔題．