Question

已知平面直角坐標系xOy中O是坐標原點，A(6，2

3

)，B(8，0)，圓C是△OAB的外接圓，過點（2，6）的直線l被圓所截得的弦長為4

3

．
（1）求圓C的方程及直線l的方程；
（2）設(shè)圓N的方程（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，（θ∈R），過圓N上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點為E，F(xiàn)，求

CE

•

CF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）直角三角形斜邊的中點就是該直角三角形外接圓的圓心，半徑r、弦長l、弦心距d三者滿足：r²=d²+(

l

2

)2．
（2）結(jié)合圖象，利用2個向量的數(shù)量積的定義，用∠ECF的一半α表示則

CE

•

CF

的結(jié)果，由圓的幾何性質(zhì)|PC|≥|NC|-1，可得cosα的最大值，進而得

CE

•

CF

的最大值．

解答：解：（1）因為A(6，2

3

)，B(8，0)，所以△OAB為以O(shè)B為斜邊的直角三角形，
所以圓C：（x-4）²+y²=16
①斜率不存在時，l：x=2被圓截得弦長為4

3

，所以l：x=2適合
②斜率存在時，設(shè)l：y-6=k（x-2）即kx-y+6-2k=0
因為被圓截得弦長為4

3

，所以圓心到直線距離為2，所以

|4k+6-2k|

1+k2

=2
∴k=-

4

3

∴l：y-6=-

4

3

(x-2)，即4x+3y-26=0
綜上，l：x=2或4x+3y-26=0
（2）解：設(shè)∠ECF=2a，
則

CE

•

CF

=|

CE

|•|

CF

|•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．
在Rt△PCE中，cosα=

x

|PC|

=

4

|PC|

，由圓的幾何性質(zhì)得|PC|≥|NC|-1=7-1=6，
所以cosα≤

2

3

，
由此可得

CE

•

CF

≤-

16

9

，則

CE

•

CF

的最大值為-

16

9

．

點評：本題屬于應用直線和圓的位置關(guān)系，并結(jié)合平面向量數(shù)量積的預算，求最值問題．