Question

關(guān)于x的一元二次方程2x²-tx-2=0有兩個實根為α，β，
（1）若x₁＜x₂為區(qū)間[α，β]上的兩個不同的點，求證：
（i）x12+x22＞2x₁x₂；
（ii）4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0；
（2）設(shè)f（x）=

4x-t

x2+1

，f（x）在區(qū)間[α，β]上的最大值和最小值分別為A和B，g（t）=A-B，求g（t）的最小值．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）（i）由x₁＜x₂為區(qū)間[α，β]上的兩個不同的點，即有（x₁-x₂）²＞0，即可得證；
（ii）由條件可得f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，兩式相加由（i）即可得證；
（2）運用單調(diào)性的定義得到f（x）在區(qū)間[α，β]上為增函數(shù)，則f（x）_max-f（x）_min=f（β）-f（α），由韋達定理，即可得到最小值．

解答： （1）證明：（i）∵x₁＜x₂為區(qū)間[α，β]上的兩個不同的點，
則有(x1-x2)2＞0∴x12+x22＞2x1x2；
（ii）∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，∴2x₁²-tx₁-2＜0，2x₂²-tx₂-2＜0，
∴2（x₁²+x₂²）-t（x₁+x₂）-4＜0，又∵x12+x22＞2x₁x₂，
∴4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0；
（2）解：設(shè)α≤x₁＜x₂≤β，
∵f（x₁）-f（x₂）=

[4x1x2-t(x1+x2)-4](x2-x1)

(x12+1)(x22+1)

＜0，
則f（x）在區(qū)間[α，β]上為增函數(shù)，
∴f（x）_max-f（x）_min=f（β）-f（α）=

[4αβ-t(α+β)-4](α-β)

(α2+1)(β2+1)

=-

[4αβ-t(α+β)-4] (α+β)2-2αβ

α2β2+(α+β)2-2αβ+1

，
∵α+β=

t

2

，αβ=-1，∴A-B=

t2+16

≥4
故A-B的最小值為4．

點評：本題考查二次方程的實根的分布及二次函數(shù)的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，同時二次方程的韋達定理及運用，考查運算和推理能力，屬于中檔題．