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6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD對角線的交點.
(Ⅰ)求證:平面C1BD∥平面AB1D1;
(Ⅱ)求直線BC1與平面ACC1A1所成的角的余弦值.

分析 (Ⅰ)利用直方圖與平行四邊形的性質可得:BC1∥AD1,利用線面平行的判定定理可得BC1∥平面AB1D1,同理可得:BD∥平面AB1D1,即可證明:平面C1BD∥平面AB1D1
(Ⅱ):如圖,連接C1O,利用直方圖的性質與線面垂直的性質定理可得:AA1⊥BD,又BD⊥AC,可得BO⊥平面ACC1A1.因此∠OC1B為直線BC1與平面ACC1A1所成的角.利用直角三角形的邊角關系即可得出.

解答 (Ⅰ)證明:∵ABCD-A1B1C1D1為正方體,
∴在平行四邊形ABC1D1中,BC1∥AD1
又AD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1
同理可得:BD∥平面AB1D1,且BC1∩BD=B,
∴平面C1BD∥平面AB1D1
(Ⅱ)解:如圖,連接C1O,
由AA1⊥平面ABCD,又BD?平面ABCD,∴AA1⊥BD,
又∵四邊形ABCD為正方形,∴BD⊥AC,又AC∩AA1=A,
∴BO⊥平面ACC1A1.∴C1O為BC1在平面ACC1A1內的射影
∴∠OC1B為直線BC1與平面ACC1A1所成的角.
在 Rt△OC1B中,∵BO=12BC1,∴sinOC1B=BOBC1=12,
又∵∠O{C_1}B∈(0,\frac{π}{2}),∴∠O{C_1}B=\frac{π}{6},
∴直線BC1與平面ACC1A1所成的角為\frac{π}{6}

點評 本題考查了空間位置關系與空間角、線面、面面平行的判定與性質定理、線面、面面垂直的判定與性質定理、空間角,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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