Question

計(jì)算：（1）∫

2

1

1-(x-1)2

dx；
（2）

-2 3 +i

1+2 3 i

+(

2

1+i

)2006+

(4-8i)2-(8i-4)2

11 - 7 i

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)積分所表示的幾何意義是以（1，0）為圓心，1為半徑第一象限內(nèi)圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，只需求出圓的面積乘以四分之一即可．
（2）首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，把兩個(gè)式子整理成最簡(jiǎn)形式，再把代數(shù)形式變化成三角形式，進(jìn)行乘方運(yùn)算，最后合并同類項(xiàng)，得到結(jié)果．

解答：解：（1）∫

2

1

1-(x-1)2

dx表示的幾何意義是：
以（1，0）為圓心，1為半徑第一象限內(nèi)的四分之一個(gè)圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，
∴∫

2

1

1-(x-1)2

dx=

1

4

×π×1=

π

4

（2）復(fù)數(shù)

-2 3 +i

1+2 3 i

+(

2

1+i

)2 006+

(4-8i)2-(8i-4)2

11 - 7 i

=

-(2 3 -i)(1-2 3 i)

(1+2 3 i)(1-2 3 i)

+[

2 (1-i)

(1-i)(1+i)

]2006+0
=

13i

13

+[cos（-45°）+isin（-45°）]²⁰⁰⁶
=i+[cos（-2006×45°）+isin（-2006×45°）]
=i+（-cos90°+isin90°）
=2i．

點(diǎn)評(píng)：（1）本小題主要考查了定積分，定積分運(yùn)算是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．
（2）本小題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，考查復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的綜合題目．