設(shè)橢圓方程為x2+=1,過點M(0,1)的直線l交橢圓于點A、B,O是坐標原點,點P滿足
=
·(
+
),點N的坐標為(
,
),當l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求:
(1)動點P的軌跡方程;
(2)||的最小值與最大值.
解:(1)解法一:直線l過點M(0,1)設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1. 記A(x1,y1)、B(x2,y2),由題設(shè)可得點A、B的坐標(x1,y1)、(x2,y2)是方程組 將①代入②并化簡得,(4+k2)x2+2kx-3=0,所以 設(shè)點P的坐標為(x,y),則 當k不存在時,A、B中點為坐標原點(0,0),也滿足方程③,所以點P的軌跡方程為4x2+y2-y=0. 解法二:設(shè)點P的坐標為(x,y),因A(x1,y1)、B(x2,y2)在橢圓上,所以 x12+ �、埽莸脁12-x22+ (x1-x2)(x1+x2)+ 當x1≠x2時,有x1+x2+ 并且 將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0. ⑧ 當x1=x2時,點A、B的坐標為(0,2)、(0,-2),這時點P的坐標為(0,0)也滿足⑧,所以點P的軌跡方程為 (2)解:由點P的軌跡方程知x2≤ | 故當x= 分析:本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力. |
科目:高中數(shù)學 來源:河南省平頂山新鄉(xiāng)許昌市2009-2010學年高三第三次調(diào)研考試理科數(shù)學試題 題型:022
在下列命題中:
①方程|x|+|y|=1表示的曲線所圍成區(qū)域的面積是2;
②與兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程為x2-y2=0;
③與兩定點(-1,0),(1,0)距離之和等于1的點的軌跡為橢圓;
④設(shè)實數(shù)x、y滿足x2+y2=1,則點(x+y,xy)的軌跡方程為x2=2y+1且|y|≤.
正確的命題的序號是________.(注:把你認為正確的命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學 來源:浙江省五校2012屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學文科試題 題型:022
已知直線l的方程為:y=-(x-1),直線l與x軸的交點為F,圓O的方程為:x2+y2=4,C、D在圓上,CF⊥DF,設(shè)線段CD的中點為M.
(1)如果CFDG為平行四邊形,求動點G的軌跡;
(2)已知橢圓的中心在原點,右焦點為F,直線l交橢圓于A、B兩點,又=2
,求橢圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知橢圓x2+=1的左、右兩個頂點分別為A,B.雙曲線C的方程為x2-
=1. 設(shè)點P在第一象限且在雙曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點T.
(Ⅰ)設(shè)P, T兩點的橫坐標分別為x1,x2,證明x1· x2=1;
(Ⅱ)設(shè)△TAB與△POB(其中O為坐標原點)的面積分別為S1與S2 ,且·
≤15,求S
-S
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆山西省晉商四校高二下學期聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓的長軸長為,焦點是
,點
到直線
的距離為
,過點
且傾斜角為銳角的直線
與橢圓交于A、B兩點,使得
.
(1)求橢圓的標準方程; (2)求直線l的方程.
【解析】(1)中利用點F1到直線x=-的距離為
可知-
+
=
.得到a2=4而c=
,∴b2=a2-c2=1.
得到橢圓的方程。(2)中,利用,設(shè)出點A(x1,y1)、B(x2,y2).,借助于向量公式
再利用 A、B在橢圓
+y2=1上, 得到坐標的值,然后求解得到直線方程。
解:(1)∵F1到直線x=-的距離為
,∴-
+
=
.
∴a2=4而c=,∴b2=a2-c2=1.
∵橢圓的焦點在x軸上,∴所求橢圓的方程為+y2=1.……4分
(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2).由第(1)問知
,
∴……6分
∵A、B在橢圓+y2=1上,
∴……10分
∴l(xiāng)的斜率為=
.
∴l(xiāng)的方程為y=(x-
),即
x-y-
=0.
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