Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=e2 ， 當(dāng)x∈（0，e]時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣ = （x＞0），①當(dāng)a≤0時，由于x＞0，故ax﹣1＜0，f'（x）＜0，
所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），
②當(dāng)a＞0時，由f'（x）=0，得x= ，
在區(qū)間（0， ）上，f'（x）＜0，在區(qū)間（ ，+∞）上，f'（x）＞0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0， ），
單調(diào)遞增區(qū)間為（ ，+∞），
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0， ），單調(diào)遞增區(qū)間為（ ，+∞）；
（Ⅱ）a=e2時，f（x）=e2x﹣lnx，f′（x）= （e2x﹣1），（x＞0），
∵e2＞0，由（Ⅰ）得：
f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，
∴f（x）min=f（ ）=3．
【解析】（Ⅰ）由此根據(jù)a≤0，a＞0進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0， ），單調(diào)遞增區(qū)間為（ ，+∞）；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最小值即可．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．