橢圓 
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[
π
12
，
π
4
]，則橢圓的離心率的取值范圍為
 
．
分析：設左焦點為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據(jù)B和A關于原點對稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出
c
a
即離心率e，進而根據(jù)α的范圍確定e的范圍．
解答：解：∵B和A關于原點對稱
∴B也在橢圓上
設左焦點為F′
根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴
c
a
=
1
sinα+cosα

即e=
1
sinα+cosα
=
1
2
(sin(α+
π
4
)

∵a∈[
π
12
，
π
4
]，
∴
π
3
≤α+π/4≤
π
2

∴
3
2
≤sin（α+
π
4
）≤1
∴
2
2
≤e≤
6
3

故答案為[
2
2
，
6
3
]
點評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)．解題時要特別利用好橢圓的定義．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若橢圓
x2
a2
+y2=1（a＞0）的一條準線經(jīng)過拋物線y2=-8x的焦點，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
3
2
D、
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a＞1)短軸的一個端點，Q為橢圓上一個動點，求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+y2=1（a＞0）的離心率為
3
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0），若|AB|=
4
2
5
，求直線l的傾斜角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓
x2
a2
+y2=1上存在一點P，使得它對兩個焦點F1，F(xiàn)2的張角∠F1PF2=
π
2
，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）已知橢圓
x2a2
+y2=1(a＞1)，直線l過點A（-a，0）和點B（a，ta）（t＞0）交橢圓于M．直線MO交橢圓于N．
（1）用a，t表示△AMN的面積S；
（2）若t∈[1，2]，a為定值，求S的最大值．

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