Question

（本小題滿分13分）

       如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)。

   （Ⅰ）求證：平面BCC₁B₁；

   （Ⅱ）求證：A₁B//平面AC₁D；

   （Ⅲ）求平面AC₁D與平面ACC₁A₁所成的銳二面角的余弦值。

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形

所以

所以平面  ……………………………………………………………1分

因?yàn)?sub>平面，所以  　　　………………………………2分

又因?yàn)?sub>，為中點(diǎn)，所以     ………………………3分

因?yàn)?sub>,所以平面    ………………………………4分

（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)

因?yàn)?sub>為正方形，所以為中點(diǎn)

又為中點(diǎn)，所以為中位線

所以   …………………………6分

因?yàn)?sub>平面，平面

所以平面………………………8分

 (Ⅲ)解： 因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，

 所以兩兩互相垂直，

如圖所示建立直角坐標(biāo)系

設(shè)，則

   ………………9分

設(shè)平面的法向量為，則有

，， 所以

取，得      ………………10分

又因?yàn)?sub>平面

所以平面的法向量為………………………………………11分

       ………………………………………12分

所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值………………13分