Question

若sinα+cosα=

1

2

，則sin³α+cos³α=

 

，sin⁶α+cos⁶α=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：由sinα+cosα=

1

2

兩邊同時(shí)平方可得，1+2sinαcosα=

1

4

，從而可得sinαcosα=-

3

8

（1）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）結(jié)合sinαcosα=-

3

8

及sin²α+cos²α=1代入可求
（2）sin⁶α+cos⁶α=（sin³α+cos³α）²-2（sinαcosα）³結(jié)合及sin³α+cos³α的值代入可求．

解答： 解：∵sinα+cosα=

1

2

，
兩邊同時(shí)平方可得，1+2sinαcosα=

1

4

，
∴sinαcosα=-

3

8

；
（1）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=

1

2

×

11

8

=

11

16

；
（2））sin⁶α+cos⁶α=（sin³α+cos³α）²-2（sinαcosα）³
=

11

16

²-2×（-

3

8

）³
=

37

64

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角平方關(guān)系的應(yīng)用，解題中要注意 一些常見(jiàn)式子的變形形式，屬于公式的基本應(yīng)用．