(13分)(2011•天津)設橢圓+
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.點P(a,b)滿足|PF2|=|F1F2|.
(Ⅰ)求橢圓的離心率e;
(Ⅱ)設直線PF2與橢圓相交于A,B兩點,若直線PF2與圓(x+1)2+=16相交于M,N兩點,且|MN|=
|AB|,求橢圓的方程.
(Ⅰ)(Ⅱ)
+
=1
解析試題分析:(Ⅰ)直接利用|PF2|=|F1F2|,對應的方程整理后即可求橢圓的離心率e;
(Ⅱ)先把直線PF2與橢圓方程聯(lián)立求出A,B兩點的坐標以及對應的|AB|兩點,進而求出|MN|,再利用弦心距,弦長以及圓心到直線的距離之間的等量關系,即可求橢圓的方程.
解:(Ⅰ)設F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0) (c>0).
由題得|PF2|=|F1F2|,即=2c,整理得2
+
﹣1=0,得
=﹣1(舍),或
=
,
所以e=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2c,b=c,可得橢圓方程為3x2+4y2=12c2,直線方程PF2為y=
(x﹣c).
A,B的坐標滿足方程組,
消y并整理得5x2﹣8xc=0,
解得x=0,x=,得方程組的解為
,
,
不妨設A(c,
c),B(0,﹣
c).
所以|AB|==
c,于是|MN|=
|AB|=2c.
圓心(﹣1,)到直線PF2的距離d=
,
因為d2+=42,所以
(2+c)2+c2=16,整理得c=﹣
(舍)或c=2.
所以橢圓方程為+
=1.
點評:本題主要考查橢圓的方程和幾何性質(zhì),直線的方程,兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式等基礎知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結合的數(shù)學思想,考查解決問題的能力和運算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知兩條拋物線和
,過原點
的兩條直線
和
,
與
分別交于
兩點,
與
分別交于
兩點.
(1)證明:
(2)過原點作直線
(異于
,
)與
分別交于
兩點.記
與
的面積分別為
與
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的兩焦點分別為,長軸長為6,
⑴求橢圓C的標準方程;
⑵已知過點(0,2)且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點,求線段AB的長度。.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(12分)(2011•重慶)如圖,橢圓的中心為原點O,離心率e=,一條準線的方程為x=2
.
(Ⅰ)求該橢圓的標準方程.
(Ⅱ)設動點P滿足,其中M,N是橢圓上的點.直線OM與ON的斜率之積為﹣
.
問:是否存在兩個定點F1,F(xiàn)2,使得|PF1|+|PF2|為定值.若存在,求F1,F(xiàn)2的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
過拋物線C:上的點M分別向C的準線和x軸作垂線,兩條垂線及C的準線和x軸圍成邊長為4的正方形,點M在第一象限.
(1)求拋物線C的方程及點M的坐標;
(2)過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與拋物線C交于A,B兩點,且直線AB過點(0,-1),求的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
橢圓:
的左頂點為
,直線
交橢圓
于
兩點(
上
下),動點
和定點
都在橢圓
上.
(1)求橢圓方程及四邊形的面積.
(2)若四邊形為梯形,求點
的坐標.
(3)若為實數(shù),
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖為橢圓C:
的左、右焦點,D,E是橢圓的兩個頂點,橢圓的離心率
,
的面積為
.若點
在橢圓C上,則點
稱為點M的一個“橢圓”,直線
與橢圓交于A,B兩點,A,B兩點的“橢圓”分別為P,Q.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)問是否存在過左焦點的直線
,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點?若存在,求出該直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的焦點為
,點
是橢圓
上的一點,
與
軸的交點
恰為
的中點,
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點為橢圓的右頂點,過焦點
的直線與橢圓
交于不同的兩點
,求
面積的取值范圍.
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