Question

【題目】設(shè)橢圓過點(diǎn)、.

（1）求橢圓的方程；

（2）、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過與橢圓交于、兩點(diǎn)，求△面積的最大值；

（3）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，使得過點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線、，且都與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）分別將、坐標(biāo)代入橢圓方程求出，即可；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得，，所以，進(jìn)而利用基本不等式求出的最大值；（3）設(shè)， ，切點(diǎn)為，， ，切點(diǎn)為， ，根據(jù)條件可得 ①，③，④，⑤，聯(lián)立以上式子求出的軌跡即可．

（1）將、坐標(biāo)代入得，解得，，所以橢圓方程為；

（2）設(shè)，聯(lián)立，整理得，

所以，，

而，

所以，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值；

（3）設(shè)，，

切點(diǎn)為，，，切點(diǎn)為， ，

因?yàn)?/span>，所以①，

聯(lián)立，得，，

所以②，

且③，④，

聯(lián)立①③④可得⑤，

聯(lián)立①③④⑤，得，

所以的軌跡方程為．