Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，點M在線段AB上．
（1）若CM=

13

，求AM的長；
（2）若點N在線段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面積最小值并求△MCN的最小面積時MN的長．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用,基本不等式

專題：轉(zhuǎn)化思想,解三角形

分析：（1）CM=

13

，直接利用余弦定理求AM的長；
（2）設∠ACM=α，α∈[0°，60°]在△ACN中，由正弦定理求出CN，在△ACM中，由正弦定理求出CM，然后表示出△MCN的面積，利用三角函數(shù)的有界性求出三角形面積的最小值并求△MCN的最小面積時MN的長．

解答： 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，點M在線段AB上．
∵CM=

13

，
∴CM²=AC²+AM²-2AC•AMcosA；
即13=16+AM²-4•AM，
解得AM=1或AM=3．
（2）設∠ACM=α，α∈[0°，60°]在△ACN中，由正弦定理得：

CN

sinA

=

AC

sin∠CNA

=

AC

sin(90°+α)

=

AC

cosα

∴CN=

2 3

cosα

．
在△ACM中，由正弦定理得：

CM

sinA

=

AC

sin∠AMC

=

AC

sin(60°+α)

∴CM=

2 3

sin(60°+α)

．
∴S△MCN=

1

2

CM•CNsin∠MCN=

3

sin(60°+α)cosα

=

12

2sin(2α+60°)+ 3

，
∵0°≤α≤60°
∴60°≤2α+60°≤180°，
∴0≤sin（2α+60°）≤1
∴當α=15°時，△MCN的面積最小為：24-12

3

，
此時MN最小值為

24-12 3

2 3

=4

3

-6．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，三角函數(shù)的以及的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．