已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R,求:
(1)函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合;
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
【答案】
分析:(1)法一:利用二倍角公式,兩角和的正弦函數(shù),化簡函數(shù)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/0.png)
,然后求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合;
法二:利用平方關(guān)系,兩角和的正弦函數(shù),化簡函數(shù)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/1.png)
,然后求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合;
(2)通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,直接求出函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
解答:解:(1)解法一:∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/2.png)
=2+sin2x+cos2x=
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(4分)
∴當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/4.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/5.png)
時,f(x)取得最大值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/6.png)
.
因此,f(x)取得最大值的自變量x的集合是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/7.png)
. (8分)
解法二:∵f(x)=(sin
2x+cos
2x)+sin2x+2cos
2x=1+sin2x+1+cos2x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/8.png)
(4分)
∴當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/9.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/10.png)
時,f(x)取得最大值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/11.png)
.
因此,f(x)取得最大值的自變量x的集合是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/12.png)
(8分)
(2)解:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/13.png)
由題意得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/14.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/15.png)
.
因此,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450816195/SYS201310232132374508161015_DA/16.png)
. (12分)
點(diǎn)評:本題考查三角函數(shù)的最值,正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法,考查計算能力,基本知識掌握的熟練程度,高考�?碱}型.