Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的公比為

1

2

，滿足S₃=15，a₁+2b₁=3，a₂+4b₂=6．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n，b_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}公差為d，由已知條件，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式求出首項和公差，由此能求出a_n=3n-1，b_n=（

1

2

）ⁿ．
（Ⅱ）由a_n•b_n=（3n-1）•(

1

2

)n，利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

解答： （Ⅰ）解：設(shè){a_n}公差為d，
∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的公比為

1

2

，
滿足S₃=15，a₁+2b₁=3，a₂+4b₂=6．
∴

a1+d=5 a1+2b1=3 a1+d+2b1=6

，
解得a₁=2，d=3，b₁=

1

2

，…（4分）
∴a_n=3n-1，b_n=（

1

2

）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n•b_n=（3n-1）•(

1

2

)n，
∴Sn=2×

1

2

+5×(

1

2

)2+8×(

1

2

)3+…+（3n-1）×(

1

2

)n，①

1

2

Sn=2×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+（3n-4）•(

1

2

)n+（3n-1）•(

1

2

)n+1，②…（8分）
①-②得：

1

2

Sn=2×

1

2

+3×[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-（3n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1+3•

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(3n-1)•(

1

2

)n+1，…（10分）
整理得Sn=5-(3n+5)•(

1

2

)n．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．