【題目】如圖，在四棱錐中，，，平面平面PAD，E是的中點(diǎn)，F是DC上一點(diǎn)，G是PC上一點(diǎn)，且，.

（1）求證：平面平面PAB；

（2）若，，求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）從線面垂直的證明入手，證明平面PAB，從而證得平面平面PAB；（2）添加輔助線，找到直線PB與平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行求解.

（1）如圖，取的中點(diǎn)M，連接MD，ME，

則，.

又，，所以，，

所以四邊形MDFE是平行四邊形，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面PAD，平面平面，，所以平面PAD.

因?yàn)?/span>平面PAD，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面PAB，

所以平面PAB.

又平面EFG，所以平面平面PAB.

（2）解法—：過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HA所在直線為x軸，過點(diǎn)H且平行于AB的直線為y軸，PH所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在等腰三角形PAD中，，，因?yàn)?/span>，所以，解得，則，

所以，，所以.

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，

所以，

所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

解法二：由（1）可知平面PAD，

因?yàn)?/span>平面PAD，所以.

在直角三角形PAB中，由勾股定理可得.

過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，連接HB，則是直線PB與平面ABCD所成的角.

在等腰三角形PAD中，，，

因?yàn)?/span>，所以，解得，在直角三角形PHB中，.

所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)S在C上位于x軸上方，直線與直線，分別交于M，N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程

（2）求|MN|的最小值

（3）當(dāng)最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使△TSB面積為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為F，A，過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在第一象限內(nèi)），連結(jié)PA，QF．若，的面積是面積的3倍．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知M為線段PA的中點(diǎn)，連結(jié)QA，QM．

①求證：Q，F，M三點(diǎn)共線；

②記直線QP，QM，QA的斜率分別為，，，若，求的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心，短半軸長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的兩焦點(diǎn)，且該圓截直線所得的弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過定點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)、，橢圓上的點(diǎn)滿足，試求的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條斜率為的直線分別交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，且點(diǎn)三等分．

（1）求該橢圓的方程；

（2）若是第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)的兩條不同的直線分別交橢圓于點(diǎn)，且直線的斜率之積，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年底，武漢發(fā)生了新冠肺炎疫情，2020年初開始蔓延.黨中央國(guó)務(wù)院面對(duì)“突發(fā)災(zāi)難”果斷采取措施，舉國(guó)上下，萬眾一心支援武漢，全國(guó)各地醫(yī)療隊(duì)陸續(xù)增援湖北，紛紛投身疫情防控與救治病人之中.為了分擔(dān)“抗疫英雄”的后顧之憂，某校教師志愿者開展“愛心輔導(dǎo)”活動(dòng)，為抗疫前線醫(yī)務(wù)工作者子女開展在線輔導(dǎo).春節(jié)期間隨機(jī)安排甲乙兩位志愿者為一位初中生輔導(dǎo)功課共3次，每位志愿者至少輔導(dǎo)1次，每一次只有1位志愿者輔導(dǎo)，到甲恰好輔導(dǎo)兩次的概率為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（，為常數(shù)，，且），，，若存在正整數(shù)，使得成立；數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則以下結(jié)論正確的是（ ）

A.B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；

（3）設(shè)，問：是否存在非零整數(shù)，使數(shù)列為遞增數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）x2+ax+lnx（a∈R）

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且|x1﹣x2|，求|f（x1）﹣f（x2）|的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案