Question

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線的極坐標方程為ρsin(

π

6

-θ)=m（m為常數(shù)），圓C的參數(shù)方程為

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和圓C的普通方程；
（Ⅱ）若圓心C關(guān)于直線的對稱點亦在圓上，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程,圓的參數(shù)方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由ρsin(

π

6

-θ)=m，展開可得ρsin

π

6

cosθ-ρcos

π

6

sinθ=m，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

j即可得出；由圓C的參數(shù)方程

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1即可得出．
（Ⅱ）圓C的圓心C的坐標C(-1，

3

)，由于圓心C關(guān)于直線的對稱點亦在圓上，可得圓心C到直線的距離為1，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由ρsin(

π

6

-θ)=m，展開可得ρsin

π

6

cosθ-ρcos

π

6

sinθ=m，
所以直線的直角坐標方程為x-

3

y-2m=0
由圓C的參數(shù)方程

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α為參數(shù)）．
利用cos²α+sin²α=1可得：
圓C的普通方程為(x+1)2+(y-

3

)2=4．
（Ⅱ）圓C的圓心C的坐標C(-1，

3

)，
∵圓心C關(guān)于直線的對稱點亦在圓上，
∴圓心C到直線的距離為1，
∴

|-1- 3 • 3 -2m|

2

=1，
解得m=-1或m=-3．

點評：本題考查了曲線的極坐標方程參數(shù)方程化為直角坐標方程及其普通方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．