Question

【題目】已知橢圓與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M，且橢圓E上相異兩點(diǎn)A、B滿(mǎn)足直線(xiàn)MA,MB的斜率之積為．

（Ⅰ）證明直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求三角形ABM的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．（2）

【解析】試題分析：利用設(shè)而不求思想設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，首先考慮 直線(xiàn)斜率不存在的情況，然后研究直線(xiàn)斜率存在的一般情況，設(shè)出直線(xiàn)斜截式方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，代入整理后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)MA、MB的斜率之積為，代入，解出，得出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，第二步聯(lián)立方程組后利用判別式大于零，求出k的范圍，表示三角形的面積，利用基本不等式求出最值 .

試題解析：

解：（Ⅰ）由橢圓的方程得，上頂點(diǎn),記 由題意知， ，若直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)的方程為，故，且，因此，與已知不符，因此直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)： ，代入橢圓的方程得： ………①

因?yàn)橹本�(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)非零不等實(shí)根，

所以，

又， ，

由 ，得

即

所以

化簡(jiǎn)得： ，故或，

結(jié)合知，

即直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．

（Ⅱ）由且得： 或，

又

，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)， 的面積最大，最大值為 ．