Question

如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a），AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，記四邊形EFGH的面積為f（x）．
（1）求f（x）的解析式和定義域；
（2）當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出矩形四個角落的三角形的面積，再利用矩形的面積減去四個角落的三角形的面積，可得四邊形EFGH的面積，即可得到f（x）的解析式和定義域；
（2）配方確定函數(shù)的對稱軸，與函數(shù)的定義域結(jié)合，分類求出四邊形EFGH的面積最大值．

解答： 解：（1）由題意，S_△AHE=S_△CGF=

1

2

x²，S_△DGH=S_△BEF=

1

2

（a-x）（b-x）
∴f（x）=S_EFGH=ab-2[

1

2

x²+

1

2

（a-x）（b-x）]=-2x²+（a+b）x（0＜x≤b）
（2）f（x）=-2x²+（a+b）x=-2（x-

a+b

4

）²+

(a+b)2

8

（0＜x≤b）
若

a+b

4

≤b，即b＜a≤3b時，當x=

a+b

4

時，f（x）_max=

(a+b)2

8

若

a+b

4

＞b，即a＞3b時，S（x）在（0，b]上為增函數(shù)，當x=b時，f（x）_max=ab-b²．

點評：本題考查四邊形面積的計算，考查利用配方法求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意函數(shù)的對稱軸與區(qū)間結(jié)合，確定分類的標準．