Question

已知圓及點(diǎn)C₂（2，0），在圓C₁上任取一點(diǎn)P，連接C₂P，做線段C₂P的中垂線交直線C₁P于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓C₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)軌跡E與x軸交于A₁，A₂兩點(diǎn)，在軌跡E上任取一點(diǎn)Q（x，y）（y≠0），直線QA₁，QA₂分別交y軸于D，E兩點(diǎn)，求證：以線段DE為直徑的圓C過兩個(gè)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)線段C₂P的中垂線交直線C₁P于點(diǎn)M，可得|MC₂|=|MP|，利用|MP|=|MC₁|+2，可知M點(diǎn)軌跡是以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線，從而可求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）確定直線QA₁，QA₂的方程，進(jìn)而可求D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得以線段DE為直徑的圓C的方程，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：∵線段C₂P的中垂線交直線C₁P于點(diǎn)M，∴|MC₂|=|MP|，
又∵|MP|=|MC₁|+2，∴|MC₁|-|MC₂|=±2（2＜4）
∴M點(diǎn)軌跡是以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線，且2a=2，2c=4
∴點(diǎn)M的軌跡E的方程為
（2）證明：A₁（-1，0），A₂（1，0），，∴
，∴
∴
∴以DE為直徑的圓方程
∴y=0時(shí)，
∴以線段DE為直徑的圓C過兩個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)為
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，考查圓過定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解雙曲線的定義，確定圓的方程．