Question

已知以原點(diǎn)O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為y=

4 3

3

，離心率e=

3

2

，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)
（Ⅰ）若C，D的坐標(biāo)分別是(0，-

3

)，(0，

3

)，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），B是圓x²+y²=1上的點(diǎn)，N是點(diǎn)M在x軸上的射影，點(diǎn)Q滿足條件：

OQ

=

OM

+

ON

，

QA

•

BA

=0、求線段QB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．設(shè)c=

a2-b2

，由準(zhǔn)線方程y=

4 3

3

．由此能夠求出橢圓方程．從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為（±1，0）時(shí)上式取等號，|MC|•|MD|的最大值為4．
（II）設(shè)M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．因?yàn)?span id="plowcfb" class="MathJye">N(xN，0)，

OM

+

ON

=

OQ

，故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4．因?yàn)?span id="erpsozc" class="MathJye">

QA

•

BA

=0，（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．由此可導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-

1

2

)2+y2=1．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，
故設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
設(shè)c=

a2-b2

，由準(zhǔn)線方程y=

4 3

3

得．
由e=

3

2

得

c

a

=

3

2

，解得a=2，c=

3

，
從而b=1，橢圓方程為x2+

y2

4

=1．
又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓x2+

y2

4

=1的焦點(diǎn)，
所以，|MC|+|MD|=2a=4
從而|MC|•|MD|≤(

|MC|+|MD|

2

)2=22=4，
當(dāng)且僅當(dāng)|MC|=|MD|，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（±1，0）時(shí)上式取等號，|MC|•|MD|的最大值為4．
（II）如圖（20）圖，設(shè)M（x_m，y_m），B（x_B，y_B）Q（x_Q，y_Q）．
因?yàn)?span id="mhsnmuq" class="MathJye">N(xN，0)，

OM

+

ON

=

OQ

，
故x_Q=2x_N，y_Q=y_M，x_Q²+y_Q²=（2x_M）²+y^y=4①
因?yàn)?span id="lrufnld" class="MathJye">

QA

•

BA

=0，
（1-x_Q-y_Q）•（1-x_N-y_n）
=（1-x_Q）（1-x_N）+y_Qy_N=0，
所以x_Qx_N+y_Qy_N=x_N+x_Q-1．②
記P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_P，y_P），因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn)
所以2x_P=x_Q+x_P，2y_P=y_Q+y_P
由因?yàn)閤_N²+y_N²=1，結(jié)合①，②得

x

2 P

+

y

2 P

=

1

4

((xQ+xN)2+(yQ+yN)2)
=

1

4

(

x

2 Q

+

x

2 N

+

y

2 Q

+

y

2 n

+2(xQxN+yQyN))
=

1

4

(5+2(xQ+xN-1))=

3

4

+xP
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-

1

2

)2+y2=1

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．