設(shè)為非負(fù)實數(shù),滿足
,證明:
.
不等式的證明一般可以考慮運(yùn)用作差法或者是利用分析法來證明。
【解析】
試題分析:為使所證式有意義,三數(shù)中至多有一個為0;據(jù)對稱性,不妨設(shè)
,則
;
、當(dāng)
時,條件式成為
,
,
,而
,
只要證,,即
,也即
,此為顯然;取等號當(dāng)且僅當(dāng)
.
、再證,對所有滿足
的非負(fù)實數(shù)
,皆有
.顯然,三數(shù)
中至多有一個為0,據(jù)對稱性,
仍設(shè),則
,令
,
為銳角,以
為內(nèi)角,構(gòu)作
,則
,于是
,且由
知,
;于是
,即
是一個非鈍角三角形.
下面采用調(diào)整法,對于任一個以為最大角的非鈍角三角形
,固定最大角
,將
調(diào)整為以
為頂角的等腰
,其中
,且設(shè)
,記
,據(jù)
知,
.今證明,
.即
……①.
即要證 ……②
先證 ……③,即證
,
即 ,此即
,也即
,即
,此為顯然.
由于在中,
,則
;而在
中,
,因此②式成為
……④,
只要證, ……⑤,即證
,注意③式以及
,只要證
,即
,也即
…⑥
由于最大角滿足:
,而
,則
,所以
,故⑥成立,因此⑤得證,由③及⑤得④成立,從而①成立,即
,因此本題得證.
考點:不等式的證明
點評:主要是考查了不等式的證明,方法比較多,一般是分析法和作差法構(gòu)造函數(shù)法,屬于難度題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
bn |
1 |
a2 |
1 |
a3 |
1 |
an |
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
bn |
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