Question

已知函數(shù)f（x）=

ln(1+x)

x

（1）當x＞0時，證明：f（x）＞

2

x+2

；
（2）當x＞-1且x≠0時，不等式f（x）＜

1+kx

1+x

恒成立，求實數(shù)k的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）令h（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，得到h′（x）=

x2

(1+x)(2+x)2

，從而求出h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故h（x）＞h（0）=0，結論證出；
（2）不等式f（x）＜

1+kx

1+x

可化為：

(1+x)ln(1+x)-x-kx2

x

＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx²，則g′（x）=ln（1+x）-2kx，從而g″（x）=

1

1+x

-2k，對x分情況進行討論：①x＞0時，②-1＜x＜0時，從而證出結論．

解答： 解：（1）令h（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，
∴h′（x）=

x2

(1+x)(2+x)2

，
x＞0時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故h（x）＞h（0）=0，
即：ln（1+x）＞

2x

x+2

．
從而，x＞0時，f（x）＞

2

x+2

得證．
（2）不等式f（x）＜

1+kx

1+x

可化為：

(1+x)ln(1+x)-x-kx2

x

＜0，
令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx²，
則g′（x）=ln（1+x）-2kx
g″（x）=

1

1+x

-2k，
①x＞0時，有0＜

1

1+x

＜1，
令2k≥1，則g″（x）＜0，
故g′（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，即g′（x）＜g′（0）=0，
∴g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
從而，g（x）＜g（0）=0，
∴k≥

1

2

時，對于x＞0，有

(1+x)ln(1+x)-x-kx2

x

＜0，
②-1＜x＜0時，有

1

x+1

＞1，
令2k≤1，則g″（x）＞0，
故g′（x）在（-1，0）上是增函數(shù)，即：g′（x）＜g′（0）=0
∴g（x）在（-1，0）上是減函數(shù)．
從而，g（x）＞g（0）=0．
∴當k≤

1

2

時，對于-1＜x＜0，有

(1+x)ln(1+x)-x-kx2

x

＜0．
綜合①②，當k=

1

2

時，在x＞-1且x≠0時，有f（x）＜

1+kx

1+x

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，不等式的證明，本題是一道中檔題．