Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點．
（1）求證：EF⊥面PAB；
（2）若AB=BC，求AC與面AEF所成的角．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（1）取PA中點G，連接FG，DG，證明DG⊥平面PABDE，根據(jù)FE∥DG，得出EF⊥面PAB；
（2）由圖形知線面角不易做出，但斜線AC的長度易求出，且可用等體積法算出C到而AEF的距離，如此則可以算出線面角的正弦值．此法省卻了作圖的麻煩．
方法二：由題設(shè)建立空間坐標系比較方便，故可用空間向量法解決，（1）求出直線的方向向量與面的法向量，證明其內(nèi)積為0即可．（2）求出面的法向量與線的方向向量，按規(guī)則求出線面角即可．
解答：解：方法一：
（1）取PA中點G，連接FG，DG

⇒四邊形DEFG為平行四邊形⇒EFDG
⇒平面PAB⊥平面PAD
又PD=AD，PG=GA⇒DG⊥PA
⇒DG⊥平面PABDE，又FE∥DG
⇒EF⊥平面PAB．（6分）
（2）設(shè)AC，BD交于O，連接FO．
由PF=BF，BO=OD得FOPD，又PD⊥平面ABCD
∴FO⊥平面ABCD
設(shè)BC=a，則AB=a，∴PA=a，
DG=a=EF，∴PB=2a，AF=a．
設(shè)C到平面AEF的距離為h．
∵V_C-AEF=V_F-ACE，∴
即∴
∴AC與平面AEF所成角的正弦值為．
即AC與平面AEF所成角為（12分）
方法二：以D為坐標原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標系，
（1）證明：
設(shè)E（a，0，0），其中a＞0，則，，∴EF⊥PB，，∴AB⊥EF
又PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB=B，∴EF⊥?平面PAB（6分）
（2）解：由，得，
可得
，
則異面直線AC，PB所成的角為，
，∴，
又PB⊥EF，AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線，
∴PB⊥平面AEF，∴AC與平面AEF所成的角為，
即AC與平面AEF所成的角為．（12分）
點評：考查用幾何法與向量法證明空間幾何體中的線面垂直問題及求線面夾角的問題．