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12.在直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.(α為參數(shù)),M是曲線C1上的動點,點P滿足\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM},
(1)求點P的軌跡方程C2;
(2)在以O(shè)為極點,X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線θ=\frac{π}{3}與曲線C1,C2交于不同于原點的點A,B求|AB|

分析 (1)求出C1的普通方程,設(shè)P(x,y),則M(\frac{x}{2},\frac{y}{2}),將M坐標(biāo)代入C1方程即得C2方程;
(2)求出射線θ=\frac{π}{3}的參數(shù)方程,代入C1普通方程,根據(jù)參數(shù)額幾何意義得出|OA|,根據(jù)C2的定義可得|AB|=|OA|.

解答 解:(1)曲線C1的普通方程為x2+(y-1)2=1.
設(shè)P(x,y),∵\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM},∴M(\frac{x}{2},\frac{y}{2}).
∵M(jìn)是曲線C1上的動點,∴(\frac{x}{2}2+(\frac{y}{2}-12=1,即x2+(y-2)2=4.
∴點P的軌跡方程是x2+(y-2)2=4.
(2)射線θ=\frac{π}{3}的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.(t為參數(shù),t≥0).
\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.(t為參數(shù),t≥0)代入曲線C1方程x2+(y-1)2=1得t2-\sqrt{3}t=0.
解得t1=0,t2=\sqrt{3}.∴|OA|=|t1-t2|=\sqrt{3}
由曲線C2的定義可知|OB|=2|OA|,∴|AB|=|OA|=\sqrt{3}

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,參數(shù)方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

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(Ⅰ)已知M是C1上的動點,P點滿足\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM},求P點的軌跡的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)記P點的軌跡為C2,設(shè)射線l與曲線C1與C2分別交于點A,B(異于A,B極點),求|AB|.

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