Question

如圖，在正方體ABCD－A1₁B₁C₁D₁中，M為棱CC₁的中點，AC交BD于點O，求證：A₁O⊥平面MBD．

Answer 1

答案：
解析：

證明：取CC1中點M，連結(jié)MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O＝，tan∠MOC＝，∴∠AA1O＝∠MOC，則∠A1OA＋∠MOC＝90°，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD． 　　解析：要證A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD內(nèi)找到兩條相交直線與A1O都垂直，首先想到DB，先觀察A1O垂直DB嗎？ 　　方法1：發(fā)現(xiàn)A1O平分DB，想到什么？(△A1DB是否為等腰三角形) 　　∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB． 　　方法2：A1O⊥DB嗎？即DB⊥A1O嗎？DB垂直包含A1O的平面嗎？(易見DB⊥平面A1ACC1) 　　再觀察A1O垂直何直線？DM？BM？因這兩條直線與A1O均異面，故難以直接觀察，平面MDB中還有何直線？易想到MO，因MO與A1O相交，它們在同一平面內(nèi)，這是一個平幾問題，可畫出平幾圖進行觀察．