Question

已知函數(shù)f(x)＝x³－3ax－1，a≠0.若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是    ．

Answer 1

(－3,1)

試題分析：因?yàn)閒（x）在x=-1處取得極大值，所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，在x=1處取得極小值f（1）=-3．因?yàn)橹本�y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知，m的取值范圍是（-3，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及求最值和利用導(dǎo)數(shù)研究圖象等問(wèn)題，屬于中檔題．