已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,在x=-
23
與x=1時(shí)都取得極值.求:
(1)求a、b的值
(2)若對(duì)x∈[-1,2],有f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)所給的函數(shù)在兩個(gè)點(diǎn)取得極值,寫(xiě)出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在這兩個(gè)點(diǎn)的值等于0,得到關(guān)于a,b的方程組,解方程組即可.
(2)要求一個(gè)恒成立問(wèn)題,只要函數(shù)的最大值小于代數(shù)式即可,f ( x)的最大值為f (2);要使f ( x)<c2恒成立,只需f (2)<c2,解不等式.
解答:解:(1)f′( x)=3x2+2ax+b,
令f′(-
2
3
)=0,f′(1)=0
得:a=-
1
2
,b=-2
(2)由(1)知f ( x)=x3-
1
2
x2-2x+c,
令f′( x)=3x2-x-2>0得x<
2
3
或x>1,
所以f ( x)在[-1,-
2
3
],[1,2]上遞增;[-
2
3
,1]上遞減,
又f (-
2
3
)<f (2),
∴f ( x)的最大值為f (2);
要使f ( x)<c2恒成立,只需f (2)<c2
解得c<-1或c>2.
點(diǎn)評(píng):不同考查函數(shù)的極值的應(yīng)用,考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題,本題解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出函數(shù)的最值,哪函數(shù)的最值同要比較的量進(jìn)行比較,再利用不等式或方程思想.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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