Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在x=-

2

3

與x=1時(shí)都取得極值．求：
（1）求a、b的值
（2）若對(duì)x∈[-1，2]，有f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)在兩個(gè)點(diǎn)取得極值，寫(xiě)出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在這兩個(gè)點(diǎn)的值等于0，得到關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可．
（2）要求一個(gè)恒成立問(wèn)題，只要函數(shù)的最大值小于代數(shù)式即可，f （ x）的最大值為f （2）；要使f （ x）＜c²恒成立，只需f （2）＜c²，解不等式．

解答：解：（1）f′（ x）=3x²+2ax+b，
令f′（-

2

3

）=0，f′（1）=0
得：a=-

1

2

，b=-2
（2）由（1）知f （ x）=x³-

1

2

x²-2x+c，
令f′（ x）=3x²-x-2＞0得x＜

2

3

或x＞1，
所以f （ x）在[-1，-

2

3

]，[1，2]上遞增；[-

2

3

，1]上遞減，
又f （-

2

3

）＜f （2），
∴f （ x）的最大值為f （2）；
要使f （ x）＜c²恒成立，只需f （2）＜c²，
解得c＜-1或c＞2．

點(diǎn)評(píng)：不同考查函數(shù)的極值的應(yīng)用，考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出函數(shù)的最值，哪函數(shù)的最值同要比較的量進(jìn)行比較，再利用不等式或方程思想．