Question

【題目】已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)為的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，，且.

（1）求的方程；

（2）已知過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，垂直于的直線過且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，由已知，求得的坐標(biāo)為，代入橢圓方程，得；再由，求得，結(jié)合，求出值，即可求得結(jié)論；

（2）先討論直線斜率不存在和斜率為0的情況，驗(yàn)證不滿足條件，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消元，由韋達(dá)定理和相交弦長公式，求出；

再將直線方程與橢圓聯(lián)立，求出，由求出的值，進(jìn)而求出，再求出點(diǎn)到直線的距離，即可求解.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，∵，

∴的坐標(biāo)為.∵在上，

將代人，得.

又∵，∴，

∴.又∵，

∴，，的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，不符合題意；

當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，也不符合題意.

∴可設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立得，

則，.

.

由得或

∴.

又∵，∴，∴，

∴.∵到直線的距離，

∴.