Question

已知，a∈R，f（x）為奇函數(shù)，且f（2x）=．
（1）求f（x）的反函數(shù)及其定義域；
（2）當(dāng)x∈（r，k）時(shí)，f^-1（x）的值域?yàn)椋?，+∞）  求k，r的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)奇函數(shù)可求出a的值，求出函數(shù)值域即為反函數(shù)的定義域，然后反解出x，將x與y互換即可求出所求；
（2）根據(jù)函數(shù)的值域，結(jié)合函數(shù)的圖象建立方程組，解之即可求出．
解答：解：（1）∵f（2x）==．∴f（x）=
又因f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）+f（x）=0
即+==0恒成立，
∴a=1
∴f（x）=令t=2x，則t＞0，∴f（t）=
可得f（x）的值域?yàn)椋?1，1），反解x可得x=log₂
即f^-1（x）=log₂，定義域?yàn)椋?1，1）
（2）令y=log₂t，t=，又因y＞-
∴t＞結(jié)合t=的圖象分析可得
解得k=3-2，r=-1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反函數(shù)，以及函數(shù)的基本性質(zhì)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．