Question

【題目】已知雙曲線x2﹣2y2=2的左、右兩個焦點為F1、F2 ， 動點P滿足|PF1|+|PF2|=4．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）設過F2且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡E于A，B兩點，問：線段OF2上是否存在一點D，使得以DA，DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：雙曲線的方程可化為 ﹣y2=1，

則|F1F2|=2 ，

|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=2 ，

由橢圓的定義可得P點的軌跡E是以F1、F2為焦點，長軸為4的橢圓

由a=2，c= ，可得b= =1，

可得所求軌跡E的方程為 +y2=1

（2）解：線段OF2上假設存在一點D（m，0）（0≤m≤ ），

使得以DA，DB為鄰邊的平行四邊形為菱形．

設l的方程為y=k（x﹣ ），則k≠0，

代入橢圓方程可得（1+4k2）x2﹣8 k2x+12k2﹣4=0，

設A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2= ，

∴y1+y2=k（x1+x2﹣2 ）= ，

∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，

∴（ + ）⊥ ，

由 + =（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）=（ ﹣2m， ），

的方向向量為（1，k），

（ + ） =0） ﹣2m+ k=0，

即m= = ﹣ ，

由k2＞0，可得0＜m＜ ＜ ，即0＜m＜ ．

故存在滿足條件的點D

【解析】（1）求得雙曲線的焦距，因為動點P滿足|PF1|+|PF2|=4，利用橢圓定義，可知動點P的軌跡為橢圓，且該橢圓以F1、F2為焦點，長軸為4，從而可求橢圓方程；（2）線段OF2上假設存在一點D（m，0）（0≤m≤ ），設l的方程為y=k（x﹣ ），則k≠0，代入橢圓方程，可得x的方程，運用韋達定理，以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，可得（ + ）⊥ ，分別求得（ + ）的坐標， 的方向向量，運用數(shù)量積為0，求出m的表達式，求得范圍，即可判斷存在性．