Question

已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2

3

，高為3，球O是正四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球，則球O的表面積為（　�。�

• A、16π
• B、32π
• C、4π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：運(yùn)用分割思想，連接OP，OA，OB，OC，OD，得到四個三棱錐和一個四棱錐，由大的四棱錐的體積等于四個三棱錐的體積和一個小的四棱錐的體積之和，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，求出斜高，即可求出球的半徑r，從而得到球的表面積．

解答： 解：設(shè)球的半徑為r，
連接OP，OA，OB，OC，OD，得到四個三棱錐和一個四棱錐
它們的高均為r，
則V_P-ABCD=V_O-PAB+V_O-PAD+V_O-PBC+V_O-PCD+V_O-ABCD
即

1

3

×3×（2

3

）2=

1

3

r（4×S_△PBC+12），
由四棱錐的高和斜高，及斜高在底面的射影構(gòu)成的直角三角形得到，
斜高為

32+( 3 )2

=2

3

∴S_△PBC=

1

2

×（2

3

）2=6，
∴r=

3×12

4×6+12

=1，
則球的表面積為4π．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查球與正四棱錐的關(guān)系，通過分割，運(yùn)用體積轉(zhuǎn)換的思想，是解決本題的關(guān)鍵．